Mengenal Operasi Hitung pada Bilangan Bulat

Mengenal Operasi Hitung pada Bilangan Bulat – Pada kesempatan ini Admin bacatutorial.com akan berbagi tentang Operasi hitung pada Bilangan Bulat. Bagi yang belum mengertahui apa itu bilangan bisa lihat di postingan sebelumnya tentang Pengertian Bilangan Bulat.

1. Penjumlahan Bilangan Bulat

Pada kesempatan ini akan dibahas masalah bilangan bulat, yaitu Penjumlahan Bilangan Bulat. Berikut ini penjelasan lengkapnya.

a. Penjumlahan Bilangan Bulat dengan Alat Bantu

Dalam menghitung hasil penjumlahan dua bilangan bulat, dapat digunakan dengan menggunakan garis bilangan. Bilangan yang dijumlahkan digambarkan dengan anak panah dengan arah sesuai dengan bilangan tersebut.

Apabila bilangan positif, anak panah menunjuk ke arah kanan. Sebaliknya, apabila bilangan negatif, anak panah menunjuk ke arah kiri.

Contoh Soal :

Hitunglah hasil penjumlahan berikut dengan menggunakan garis bilangan.

1. 6 + (–8)

Penyelesaian :Mengenal Operasi Hitung pada Bilangan Bulat

Untuk menghitung 6 + (–8), langkah-langkahnya sebagai berikut.

(a) Gambarlah anak panah dari angka 0 sejauh 6 satuan ke kanan sampai pada angka 6.

(b) Gambarlah anak panah tadi dari angka 6 sejauh 8 satuan ke kiri.

(c) Hasilnya, 6 + (–8) = –2.

2. (–3) + (–4)

Penyelesaian :Operasi Hitung pada Bilangan Bulat

Untuk menghitung (–3) + (–4), langkah-langkahnya sebagai berikut.

(a) Gambarlah anak panah dari 0 sejauh 3 satuan ke kiri sampai pada angka –3.

(b) Gambarlah anak panah tadi dari angka –3 sejauh 4 satuan ke kiri.

(c) Hasilnya, (–3) + (–4) = –7.

b. Penjumlahan Bilangan Bulat tanpa Alat Bantu

Penjumlahan pada bilangan yang bernilai kecil dapat dilakukan dengan bantuan garis bilangan. Namun, untuk bilangan-bilangan yang bernilai besar, hal itu tidak dapat dilakukan. Oleh karena itu, kita harus dapat menjumlahkan bilangan bulat tanpa alat bantu.

1) Kedua bilangan bertanda sama

Jika kedua bilangan bertanda sama (keduanya bilangan positif atau k eduanya b ilangan n egatif), jumlahkan k edua bilangan tersebut. Hasilnya berilah tanda sama dengan tanda kedua bilangan.

Contoh:

a) 125 + 234 = 359

b) –58 + (–72) = –(58 + 72) = –130

2) Kedua bilangan berlawanan tanda

Jika kedua bilangan berlawanan tanda (bilangan positif dan bilangan negatif), kurangi bilangan yang bernilai lebih besar dengan bilangan yang bernilai lebih kecil tanpa memerhatikan tanda. Hasilnya, berilah tanda sesuai bilangan yang bernilai lebih besar.

Contoh:

a) 75 + (–90) = –(90 – 75) = –15

b) (–63) + 125 = 125 – 63 = 62

2. Sifat-Sifat Penjumlahan Bilangan Bulat

Sifat-Sifat Penjumlahan Bilangan Bulat, ada 5 Sifat-Sifat Penjumlahan Bilangan Bulat yang akan dibahas. Diantaranya sifat tertutup, sifat komutatif, Mempunyai unsur identitas, sifat asosiatif dan mempunyai invers. 

a. Sifat tertutup

Pada penjumlahan bilangan bulat, selalu menghasilkan bilangan bulat juga. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut.

Untuk setiap bilangan bulat adan b, berlaku a+ b= c dengan c juga bilangan bulat

Contoh :

a. –16 + 25 = 9

–16 dan 25 merupakan bilangan bulat.

9 juga merupakan bilangan bulat.

b. 24 + (–8) = 16

24 dan –8 merupakan bilangan bulat.

16 juga merupakan bilangan bulat.

b. Sifat komutatif

Sifat komutatif disebut juga sifat pertukaran. Penjumlahan dua bilangan bulat selalu diperoleh hasil yang sama walaupun kedua bilangan tersebut dipertukarkan tempatnya. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut.

Untuk setiap bilangan bulatadan b, selalu berlaku a+ b= b+ a.

Contoh :

a. 6 + 5 = 5 + 6 = 11

b. (–7) + 4 = 4 + (–7) = –3

c. 8 + (–12) = (–12) + 8 = –4

d. (–9) + (–11) = (–11) + (–9) = –20

c. Mempunyai unsur identitas

Bilangan 0 (nol) merupakan unsur identitas pada penjumlahan. Artinya, untuk sebarang bilangan bulat apabila ditambah 0 (nol), hasilnya adalah bilangan itu sendiri. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut.

Untuk sebarang bilangan bulat a, selalu berlaku a+ 0 = 0 + a= a.

d. Sifat asosiatif

Sifat asosiatif disebut juga sifat pengelompokan. Sifat ini dapat dituliskan sebagai berikut.

Untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c, berlaku (a+ b) + c= a+ (b+ c).

Contoh :

a. (4 + (–5)) + 6 = –1 + 6

= 5

4 + ((–5) + 6) = 4 + 1

= 5

Jadi, (4 + (–5)) + 6 = 4 + ((–5) + 6).

b. (–3 + (–9)) + 10 = –12 + 10

= –2

–3 + ((–9) + 10) = –3 + 1

= –2

Jadi, (–3 + (–9)) + 10 = –3 + ((–9) + 10).

e. Mempunyai invers

Invers suatu bilangan artinya lawan dari bilangan tersebut. Suatu bilangan dikatakan mempunyai invers jumlah, apabila hasil penjumlahan bilangan tersebut dengan inversnya (lawannya) merupakan unsur identitas (0 (nol)).

Lawan dari aadalah –a, sedangkan lawan dari – a adalah a.

Dengan kata lain, untuk setiap bilangan bulat selain nol pasti mempunyai lawan, sedemikian sehingga berlaku a+ (–a) = (–a) + a= 0.

3. Pengurangan pada Bilangan Bulat

Seperti pada penjumlahan bilangan bulat, untuk menghitung hasil pengurangan dua bilangan bulat dapat digunakan bantuan garis bilangan. Namun sebelumnya coba kalian ingat kembali materi di tingkat sekolah dasar, bahwa operasi pengurangan merupakan penjumlahan dengan lawan bilangan pengurang.

Perhatikan uraian berikut.

a. Pengurangan dinyatakan sebagai penjumlahan dengan lawan bilangan pengurang

Bandingkan hasil penjumlahan dan pengurangan berikut.Pengurangan dinyatakan sebagai penjumlahan dengan lawan bilangan pengurang

Dari perbandingan di atas, diperoleh hubungan sebagai berikut.

4 – 3 = 4 + (–3) = 1

–5 – (–2) = –5 + 2 = –3

Pada pengurangan bilangan bulat, mengurangidengan suatu bilangansama artinya dengan menambahdengan lawan pengurangnya. Secara umum, dapat dituliskan sebagai berikut.

Untuk setiap bilangan bulat adanb, maka berlaku a – b = a + (–b).

Contoh :

a. 7 – 9 = 7 + (–9) = –2

b. –8 – 6 = –8 + (–6) = –14

c. 15 – (–5) = 15 + 5 = 20

d. –12 – (–6) = –12 + 6 = –6

Pada contoh di atas da pat kalian lihat bahwa hasil dari pengurangan dua bilangan bulat, juga menghasilkan bilangan bulat.

Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa pada operasi pengurangan bilangan bulat berlaku sifat tertutup.

b. Pengurangan dengan alat bantu

Berdasarkan penjelasan di atas, pelajarilah cara menghitung hasil pengurangan dua bilangan bulat dengan bantuan garis bilangan berikut ini.

Contoh :

1. 4 – 7

Penyelesaian:

Untuk menghitung 4 – 7, langkah-langkahnya sebagai berikut.

(a) Gambarlah anak panah dari angka 0 sejauh 4 satuan ke kanan sampai pada angka 4.

(b) Gambarlah anak panah tersebut dari angka 4 sejauh 7 satuan ke kiri sampai pada angka –3.

(c) Hasilnya, 4 – 7 = –3.Pengurangan dengan alat bantu

2. –3 – (–5)

Penyelesaian:

Langkah-langkah u ntuk menghitung – 3 – ( –5) s ebagai berikut.

(a) Gambarlah anak panah dari angka 0 sejauh 3 satuan ke kiri sampai pada angka –3.

(b) Gambarlah anak panah tersebut dari angka –3 sejauh 5 satuan ke kanan sampai pada angka 2.

(c) Hasilnya, –3 – (–5) = 2.Pengurangan alat bantu

4. Perkalian pada Bilangan Bulat

Kalian telah mengetahui bahwa perkalian adalah operasi penjumlahan berulang dengan bilangan yang sama. Perhatikan contoh berikut.
4 x 5 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20
5 x 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20

Meskipun hasilnya sama, perkalian 4 x 5 dan 5 x 4 berbeda artinya. Secara umum, dapat dituliskan sebagai berikut.Perkalian pada Bilangan Bulat

a. Menghitung hasil perkalian bilangan bulat

Perhatikan uraian berikut.
2 x 4 = 4 + 4 = 8
2 x 3 = 3 + 3 = 6
2 x 2 = 2 + 2 = 4
2 x 1 = 1 + 1 = 2
2 x 0 = 0 + 0 = 0
–2 x 4 = – (2 x 4) = – (4 + 4) = –8
–2 x 3 = – (2 x 3) = – (3 + 3) = –6
–2 x 2 = – (2 x 2) = – (2 + 2) = –4
–2 x 1 = – (2 x 1) = – (1 + 1) = –2
–2 x 0 = – (2 x 0) = – (0 + 0) = 0
2 x (–2) = (–2) + (–2) = –4
2 x (–1) = (–1) + (–1) = –2
(–2) x (–3) = – (2 x (–3)) = – ((–3) + (–3)) = 6
(–2) x (–2) = – (2 x (–2)) = – ((–2) + (–2)) = 4
(–2) x (–1) = – (2 x (–1)) = – ((–1) + (–1)) = 2

Jika kalian mengamati perkalian bilangan di atas, kalian akan memperoleh sifat-sifat berikut.

Jika p dan q adalah bilangan bulat maka

1) p x q=pq;

2) (–p) x q= –(p x q) = –pq;

3) p x (–q) = –(p x q) = –pq;

4) (–p) x (–q) = p x q = pq.

b. Sifat-sifat perkalian pada bilangan bulat

1) Sifat tertutup

Untuk mengetahui sifat tertutup pada perkalian bilangan bulat, salin dan tentukan hasil perkalian berikut.

3 x 8 = …. 3 x (–8) = ….

(–3) x 8 = …. (–3) x (–8) = ….

Apakah hasil perkalian bilangan di atas juga merupakan bilangan bulat? Jika kalian mengerjakan dengan benar , kalian akan memperoleh sifat berikut.

Untuk setiap bilangan bulat pdanq, selalu berlaku p x q =r dengan r juga bilangan bulat.

2) Sifat komutatif

Untuk mengetahui sifat komutatif pada perkalian bilangan bulat, salin dan tentukan hasil perkalian berikut.

2 x (–5) = …. (–3) x (–4) = ….

(–5) x 2 = …. (–4) x (–3) = ….

Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasangan bilangan bulat di atas? Jika kalian mengerjakan dengan benar , kalian akan memperoleh sifat berikut.

Untuk setiap bilangan bulat pdanq, selalu berlaku p x q = q x p.

3) Sifat asosiatif

Untuk mengetahui sifat asosiatif pada perkalian bilangan bulat, salin dan tentukan hasil perkalian berikut.

3 x (–2 x 4) = …. (–2 x 6) x 4 = ….

(3 x (–2)) x 4 = …. –2 x (6 x 4) = ….

Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasangan bilangan bulat di atas?

Jika kalian mengerjakan dengan benar , kalian akan memperoleh sifat berikut.

Untuk setiap bilangan bulat p,q, dan rselalu berlaku (p x q) x r=p x (q x r).

4) Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

Untuk mengetahui sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, salin dan tentukan hasil perkalian berikut.

2 x (4 + (–3)) = …. (–3) x (–8 + 5) = ….

(2 x 4) + (2 x (–3)) = …. ((–3) x (–8)) + (–3 x 5) = ….

Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasangan bilangan bulat di atas?

Jika kalian mengerjakan dengan benar , kalian akan memperoleh sifat berikut.

Untuk setiap bilangan bulat p,q, dan rselalu berlaku p x (q+r) = (p x q) + (p x r).

5) Sifat distributif perkalian terhadap pengurangan

Untuk mengetahui sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, salin dan tentukan hasil perkalian berikut.

5 x (8 – (–3)) = …. 6 x (–7 – 4) = ….

(5 x 8) – (5 x (–3)) = …. (6 x (–7)) – (6 x 4) = ….

Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasangan bilangan bulat di atas?

Jika kalian mengerjakan dengan benar , kalian akan memperoleh sifat berikut.

Untuk setiap bilangan bulat p, q, dan r selalu berlaku p x (q–r) = (p x q) – (p x r).

6) Memiliki elemen identitas

Untuk mengetahui elemen identitas pada perkalian, tulis dan tentukan hasil perkalian berikut.

3 x 1 = …. (–4) x 1 = ….

1 x 3 = …. 1 x (–4) = ….

Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasangan bilangan bulat di atas?

Jika kalian mengerjakan dengan benar , kalian akan memperoleh sifat berikut.

Untuk setiap bilangan bulat p, selalu berlaku p x 1 = 1 x p = p. Elemen identitas pada perkalian adalah 1.

5. Pembagian Bilangan Bulat

a. Pembagian sebagai operasi kebalikan dari perkalian

Perhatikan uraian berikut.

(i) 3 x 4 = 4 + 4 + 4 = 12

Di lain pihak, 12 : 3 = 4 atau dapat ditulis

3 x 4 = 12 ⇔ œ12 : 3 = 4.

(ii) 4 x 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12

Di lain pihak, 12 : 4 = 3, sehingga dapat ditulis

4 x 3 = 12 œ⇔ 12 : 4 = 3.

Dari uraian di atas, tampak bahwa pembagian merupakan operasi kebalikan (invers) dari perkalian. Secara umum dapat ditulis sebagai berikut

Jika p,q, dan r bilangan bulat, dengan q faktor p,dan q ≠ 0 maka berlaku p:q = r ⇔ œp = q x r.

b. Menghitung hasil pembagian bilangan bulat

Coba ingat kembali sifat perkalian pada bilangan bulat. Dari sifat tersebut, diperoleh kesimpulan berikut.

Untuk setiap p, q, r bilangan bulat, q ≠ 0 dan memenuhi p:q=r berlaku

(i) jika p,q bertanda sama, r adalah bilangan bulat positif;

(ii) jika p,q berlainan tanda, r adalah bilangan bulat negatif.

c. Pembagian dengan bilangan nol

Untuk menentukan hasil pembagian bilangan bulat dengan bilangan nol (0), ingat kembali perkalian bilangan bulat dengan bilangan nol. Untuk setiap a bilangan bulat berlaku
a x 0 = 0 œ⇔ 0 : a= 0

Jadi, dapat dituliskan sebagai berikut.

Untuk setiap bilangan bulat a, berlaku 0 : a = 0; a ≠ 0.

Hal ini tidak berlaku jika a= 0, karena 0 : 0 = tidak terdefinisi.

d. Sifat pembagian pada bilangan bulat

Apakah pembagian pada bilangan bulat bersifat tertutup?

Perhatikan bahwa

15 : 3 = 5

8 : 2 = 4

2 : 2 = 1

Sekarang, berapakah nilai dari 4 : 3?

Apakah kalian menemukan nilai dari 4 : 3 merupakan bilangan bulat?

Jawabannya adalah tidak ada. Karena tidak ada bilangan bulat yang memenuhi, maka hal ini sudah cukup untuk menyatakan bahwa pembagian pada bilangan bulat tidakbersifattertutup.

Sekarang perhatikan bahwa 8 : 2 = 4. Apakah ada bilangan bulat yang memenuhi 2 : 8? Karena tidak ada bilangan bulat yang memenuhi 2 : 8, maka pada pembagian tidak berlaku sifat komutatif.

Untuk mengetahui apakah pada pembagian bilangan bulat berlaku sifat asosiatif, perhatikan bahwa (12 : 6) : 2 = 1 tetapi 12 : (6 : 2) = 4.

Dari contoh di atas, dapat diketahui bahwa pada pembagian bilangan bulat tidak berlaku sifat asosiatif .

Demikianlah yang bisa dibagikan tentang Mengenal Operasi Hitung pada Bilangan Bulat, semoga bermanfaat. [bt]

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *